Discretización

Muy a menudo, se parte de las EDPs, conocidas, por ejempo:

$$\frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = 0$$

Estas se discretizan: sustituyendo las derivadas por diferencias.

Sin embargo, este es un proceso de ida y vuelta, porque las EDPs se deducen a nivel discreto.

Deducción

Se suponen cambios de un campo $u$ sólo en la dirección $x$

El cambio en la cantidad total $A \Delta x \, u_i$ será:

$$\frac{d }{d t} (A \Delta x \, u_i ) = \Phi_{i-1/2} + \Phi_{i+1/2}$$

Flujos, convección

Los flujos por las caras vienen dados por:

$$\Phi_{i-1/2} = A c \, u_{i-1/2}$$

$$\Phi_{i+1/2} = - A c \, u_{i+1/2}$$

$$\frac{d }{d t} (A \Delta x \, u_i ) = A c \, u_{i-1/2} - A c \, u_{i+1/2}$$

Interpolación en las caras

Un problema obvio es que no conocemos el campo en los puntos intermedios.

Así que podemos suponer una interpolación lineal:

$$u_{i-1/2} \approx \frac { u_{i-1} + u_i}{2}$$

$$u_{i+1/2} \approx \frac { u_{i} + u_{i+1}}{2}$$

La EDP

De este modo,

$$\frac{d }{d t} (A \Delta x \, u_i ) = A c \frac{ \, u_{i-1} - u_{i+1} }{2}$$

$$\frac{d u_i }{d t} = - c \frac{ \, u_{i+1} - u_{i-1} }{2 \Delta x}$$

La parte derecha se puede identificar como la derivada espacial (centrada):

$$\frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = 0$$

Discretización del tiempo

Para nosotros, es más útil la expresión discreta:

$$\frac{d u_i }{d t} = - c \frac{ \, u_{i+1} - u_{i-1} }{2 \Delta x}$$

De hecho, habría que discretizar la derivada temporal también. Lo más sencillo es el método de Euler:

$$\frac{d u_i }{d t} \approx \frac{ u^{n+1}_i - u^{n}_i }{\Delta t}$$

Donde el tiempo es $t= n \Delta t$.

Algoritmo explícito

Interpretando que la parte derecha de la ecuación se refiere al paso actual:

$$\frac{ u^{n+1}_i - u^{n}_i }{\Delta t} = - c \frac{ \, u^n_{i+1} - u^n_{i-1} }{2 \Delta x}$$

Se llega a:

$$u_i^{n+1} = u_i^n - c \frac{\Delta t}{2 \Delta x}(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n)$$

Atención a la combinación $c \frac{\Delta t}{ \Delta x}$: es el número de Courant.

Algoritmo implícito

Sin embargo, es más estable si la parte derecha se considera que se refiere a valores del siguiente tiempo (¡desconocidos!). Se llega a

$$u_i^{n+1} = u_i^n - c \frac{\Delta t}{2 \Delta x}(u_{i+1}^{n+1}-u_{i-1}^{n+1})$$

Interpolación upwind

La interpolación lineal resulta ser bastante mala para estos problemas. Es mucho mejor un esquema "upwind":

$$u_{i-1/2} \approx u_{i-1}$$

$$u_{i+1/2} \approx u_{i}$$

Referencias

• 12 Steps to Navier-Stokes
• Convección en 1D (ipynb)