Convección + difusión en 2D y 3D

En 1D:

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial c \phi}{\partial x} = D \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}$$

No es difícil pasar a dimensiones superiores:

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot ( \vec{c} \phi ) = D \nabla^2 \phi$$

La ecuación de conservación de la masa

La densidad de un fluido, $\rho$ cumple una ley de convección pura:

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot ( \vec{c} \phi ) = D \nabla^2 \phi$$

$$\phi \rightarrow \rho \qquad \vec{c} \rightarrow \vec{u} \qquad D=0$$

$$\frac{\partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot ( \rho \vec{u} ) = 0$$

La ecuación del momento

El momento, $\rho\vec{u}$ cumple una ecuación de difusión - convección (en un fluido Newtoniano):

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot ( \vec{c} \phi ) = D \nabla^2 \phi$$

$$u \rightarrow \rho \vec{u} \qquad \vec{c} \rightarrow \vec{u} \qquad D \rightarrow \mu$$

$$\frac{\partial \rho \vec{u} }{\partial t} + \nabla \cdot ( \rho \vec{u} \times \vec{u} ) = \mu \nabla^2 \vec{u} + \vec{f}$$

La presión

Aparte de posibles fuerzas externas (p.e. gravedad), la fuerza $\vec{f}$ siempre tiene una componente debida al gradiente de presiones:

$$\vec{f} = - \nabla p + \rho \vec{g}$$

Cierre de las ecuaciones: caso compresible

Las ecuaciones se pueden cerrar relacionando $p$ y $\rho$ mediante una ecuación de estado:

$$p = p(\rho)$$

Cierre de las ecuaciones: caso incompresible

O puede considerarse que $\rho$ es constante, con lo cual

$$\frac{\partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot ( \rho \vec{u} ) = 0 \implies \nabla \cdot \vec{u} = 0$$

y, para el momento

$$\frac{\partial \rho \vec{u} }{\partial t} + \nabla \cdot ( \rho \vec{u} \times \vec{u} ) = \mu \nabla^2 \vec{u} -\nabla p$$

$$\implies \frac{\partial \vec{u} }{\partial t} + \vec{u} \cdot \nabla \vec{u} = \frac\mu\rho \nabla^2 \vec{u} - \frac1\rho \nabla p$$

Fluidos incompresibles

$$\frac{\partial \vec{u} }{\partial t} + \vec{u} \cdot \nabla \vec{u} = \frac\mu\rho \nabla^2 \vec{u} - \frac1\rho \nabla p$$

Como $\rho$ es constante, se puede definir:

$$\frac{\partial \vec{u} }{\partial t} + \vec{u} \cdot \nabla \vec{u} = \nu \nabla^2 \vec{u} - \nabla p'$$

( ¿¿¿ Cómo se determina el campo $p$ entonces ???)

Fluidos incompresibles, versión adimensional

Cambia un poco respecto a lo discutido en 1D:

• La velocidad es un campo, así que hay que introducir una velocidad típica $c$

• Está el asunto de la presión ...

• Al final, así quedan las variables:

$$x = L x^* \qquad \nabla = \frac1L \nabla^* \qquad t = L t^* / c \qquad p = p^* (\rho c^2)$$

Fluidos incompresibles, versión adimensional

Se deja como ejercicio:

$$\frac{\partial \vec{u} }{\partial t} + \vec{u} \cdot \nabla \vec{u} = \frac\mu\rho \nabla^2 \vec{u} - \frac1\rho \nabla p$$

lleva a $$\frac{\partial \vec{u}^* }{\partial t^*} + \vec{u}^* \cdot \nabla^* \vec{u}^* = \frac{1}{\mathrm{Re}} (\nabla^*)^2 \vec{u}^* - \nabla^* p^*$$

Referencias

12 Steps to Navier-Stokes